T1

这本书上的例题6.4.3. 但还是不理解这个换元是怎么想到的.

令 为原积分, . .

再令 . 有 .

注意到 .

所以 .

T2

定义函数的范数 .

接下来论证 时有 .

记 , . 显然有 .

所以 .

此外, .

显然有 .

所以 . 令 得 .

综上, .

直接运用该定理可得 .

T3

注意到 , 所以 .

所以 .

令 得 .

T4

由 Riemann 积分之定义知 .

是凸函数, 从而由 Jensen 不等式有: .

所以有 .

T5

.

记 .

显然有 , .

所以 . .

T6

. 令 .

有 .

注意到 , 所以 .

令 . 分步积分有 , .

令 有 .

综上有 .