数学分析&高等代数 学习笔记

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数学分析

收敛

  • 语言与其等价表述.

  1. 数列 收敛至 任意 的邻域 , 数列 中只有有限项不落在这一邻域中.

  2. 数列 以 为聚点 任意 的邻域 , 数列 中有无限项落在这一邻域中 不存在 , 使得数列 中没有落在 中的数(找不到一个 的去心邻域中没有 中的数).

  • 收敛数列必有界.

  • 有界数列 , 无穷小数列 , 数列 也为无穷小.

  • 定理: 若 , 任取 满足 , 且 . 再有数列 , 必有 .

单调

  • 单调有界实数列必收敛

夹逼

  • 夹逼原理

若 , 且 , 则 .

  • 极限不等式

设

  1. 若 , 则 充分大时有 .
  2. 若 , 则 充分大时有 .
  3. 若 充分大时有 , 则 . (也即不等式两边求极限)

极限运算

  • 四则运算

设 .

  1. 若 , 则 .

  2. 若 , 则 .

  3. 若 且 , 则 .

  4. (特别地,) 若 , 不为不定式, 的每一项都有意义, 则 .

e

  • 常用手法

  1. 记 , , 为单调递增数列, 为单调递减数列, 且都收敛于 .(证明分别是对 和 加一项 后用均值不等式.)

  2. 记 , (注意这里是直接相等而非极限相等, 因而可以任意代入), 其中 .

  • 不等式
  1. .
证明 证： 记 . 有 . 观察到 . 记 , , 又 , 故 . 有广义伯努利不等式: . 所以 . 故 , 又 . 所以有 .
  1. 记 . 有 .
证明 证： 注意到 同理 所以 , 有 , 由夹逼定理 , 又 , , , 又 , 也即 .

  1. 对数不等式: .

  2. stirling 公式: . 改进: .

证明 证（只证 ）： 记 , (对数不等式). 故 单调递减, 且有下界 收敛.
  1. wallis 公式: .

习题1: 已知 wallis 公式, 证明 stirling 公式.

习题2: 已知对数不等式右侧改进, 证明 stirling 公式的改进.

基本列

  • 数列 是基本列当且仅当 充分大时, , 可以任意小.

  • 关键性质

  1. 从任一数列中必可取出一单调子列. (考察所有大于其后面所有项的项, 分这种项数量是有限还是无限讨论)

  2. 一数列收敛充要于其是基本列.

上下确界

  • 上确界, 下确界.

  • 为集合 的上确界 且 , s. t. . 下确界同理.

  • .

上极限与下极限

  • 上(下)极限是数列所有聚点的最大(小)值.

  • .

  • 充分大时, , , .(逆命题不成立)

stolz

  • 严格递增且趋于 , 若 , 则必有 .(逆命题不成立)

  • 对于 严格递减且趋于 , 趋于 , 若 , 则必有 .(逆命题也不成立)

实数连续性命题

  1. [确界定理] 有上(下)界非空数集有上(下)确界.

  2. [单调有界收敛定理] 单调有界数列必收敛.

  3. [闭区间套原理] 且 , 则 , s.t. .

  4. [有限覆盖定理] 的任何开覆盖必有有限子覆盖.

  5. [列紧性] 有界无限数集必有聚点.

  6. [序列紧性] 有界数列必有收敛子列.

  7. [Cauchy] 基本列必收敛.

小插曲

课本上的趣题 - 设非负整数 满足 为整数. 求证: 该整数必为某一整数之平方. 证: 令 . 若 , 则 为整数, 则必有 , 也即 . 不妨设 . 若 , 则 是某整数的平方. 下设 . 对某一固定的 , 考察以 为变元的二次方程 , 也即 . 设该方程的解为 , 有: 有 . 注意到若 , 则 , 矛盾. 所以 . 又由 . 又 是满足原要求的一组 , 而相比之下 减少, 故必能找到一组 满足 , 此时有 为某整数的平方.

一些阴暗的事情

  • , 反向不成立.()

  • , 反向不成立.().

关键在于: 后面命题相当于 , 是先于 取定的().

  • 在 邻域无界, 反向不成立.()

  • 处处局部无界的函数:

周期函数

  • 是在 上有定义的周期分别为 的周期函数, 且 , 求证: .
证明 归结原则与无关上一步中极限显然存在这一步中前面极限显然为故后面极限也必然存在才可以运用极限的四则运算 同理有 . 两式相减得 . 注意到 , 故 , 亦即 , .

连续函数

  • [极限的复合] 设 , 若在 的某个邻域 中有 , 则必有 .

  • [连续函数的复合] 设 , 若 在 处连续, 则必有 . 且若 在 处连续, 则 在 处也连续.

注意到这两个定理一者要求 在某个邻域上不等于其极限, 一者要求 在 处连续, 他们互相之间是没有关系, 共同成立的.(其实本质上都是在排除 在 处的极限与函数值不相等的情况可能导致的问题.)

上面定理的证明 证: 由题设有 , . 所欲证即 . 不妨先取定 , 在 的极限中令 , 得到 . 在 的极限中令 , 取 , 必有 , 也即 . 又由 的极限, 有 , 也即 .
下面定理的证明 证: 只需证任取数列 , 必有 . 不妨设这样的数列 已取定, 令 , 由 有 . 令 , 由 连续知 , 也即对任意取定的数列 , 都有 .
  • 有界闭区间 上的连续函数 必有界.
证明 若否, 则对于所有 s.t. . 考察序列 , 由其有界性, 必可取出一收敛子列 . 不妨设 . 注意到 为有限数. 而据 的取法必有 , 故 不收敛, 矛盾.

  • 有界闭区间上的连续函数相关的证明问题, 一般考虑取一列数 使得 满足某些条件, 再构造 是其一个收敛于 的子列 [序列紧性], 再由连续性得到 .

  • 对有界闭区间 上的连续函数 , 若 , 则必有 s.t. .

  • [Cantor 定理] 有界闭区间上的连续函数必一致连续.

开集

  • 对于集合 , (不必属于 ) 是其聚点当且仅当 .

  • 对于集合 , (不必属于 ) 是其极限点当且仅当 s.t. .

  • 开集是包含自身所有聚点的集合.

  • 闭集是包含自身所有极限点的集合.

单调函数

  • 设存在正实数 s.t. 在 上单增(减), 则 , 其中 . 右极限类似.

  • 设 在 上单调, 则 , 与 都存在且有限. 且 均存在但不一定有限.

证明思路 考察 , 对 与 在 上应用上一条可以得到 存在且有限. 注意到 与f(x_0)均必有定义故f(x_0^-)必为有限数 同理. 对 , 对 与 在 上应用上一条. 但 不一定有限.

上下极限

  • 在 内有定义, 则 当且仅当任取一序列 满足 且 , 则 , 且等号能取得.

Dirichlet 判别法与 Abel 判别法

  • [Abel 求和] , 其中 是 的部分和.

  • [Dirichlet 判别法] 单调且收敛至 , 的部分和 有界, 则级数 收敛.

  • [Abel 判别法] 单调有界, 级数 收敛, 则级数 收敛.

距离空间

  • 对 是集合, 若函数 满足:
  1. , 且 .
  2. .
  3. .

则称 为一个距离空间.

凸性

  • 凸是下凸。

  • 若 在 上可导, 则: 在区间 上(严格)凸 在 上(严格)增 , .

  • 在区间 上(严格)凸 , .

  • 若 在 上凸, 则 在 上连续(其中 是 的内点集).

  • 若 在 上凸, 则 均存在, . 且 . 且 左连续, 右连续.

  • … 存在 左连续 右连续.

  • 若 在 上二阶可导, 则: 在 I 上(严格)凸 .

lipschitz

  • 在 上局部 lipschitz (不一定一致 lipschitz).

  • 在 上存在, 但在 不连续. 在 无界 在 上可导不可以推出局部 lipschitz.

导数极限

  • 在 附近( 除外)可导, 在 附近连续, 在 处的极限存在, 则 存在且 .

Taylor

  • 若 有 展开, 则 展开唯一.
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