定义

对 , 记 , 若以下三条性质均成立:

1. ;
2. ;
3. 中没有最大元

则称 是 的一个 分割. 记 是所有 Dedekind 分割组成的集合.

注意到第二条可以推出 . 这是因为若 , 则 , 但 , 与第二条矛盾. 值得注意的是, 这个推论和第二条是等价的.

第三条和如下描述等价: s.t. .

以下是两个例子

1. 对有理数 , 可定义 .

2. 对 , 可定义 .

序关系

对于 , 可以如下定义序关系

• 若 , 则 .

• 若 且 , 则称 .

• 否则称 .

接下来证明这个关系满足序关系的性质

1. .

由集合的包含关系显然.

1. .

由集合的包含关系显然.

1. .

只需证明对 , 和 必居其一即可. 不妨假设 , 下证 . 据假设, 有 . 又 . 于是有 .

确界原理

设 有上界 , 下证 有上确界.

记 . 易知 . 先证 .

1. .

前者是显然的. 对于后者, 考察 的上界 , 有 , , 取 , 则 , 也即 , 也即 .

1. .

. 又 . 所以 .

1. 中没有最大元.

反证法, 设 中存在最大元 . 又 , 则必 s.t. . 则 也是 的最大元, 与 矛盾.

下证 是 的上确界, 也即对于所有 是 的上界, 必有 . 又 是 的上界, 也即 , 也即 .

四则运算

加法

, 定义 .

再定义 .

其它性质的证明是显然的, 这里只考虑 . 我们先证一个引理.

• 引理: s.t. .

任取 s.t. . 如下构造一列 : 设 已构造好, 考察 , 若 , 构造 . 否则 . 容易发现 . 取 , 则 . 于是满足要求的 已取出.

回到原命题的证明. 容易发现 . 故只需证 . 令 (这里是集合的减法), 由于 不是空集, 可以取 . 又 中无最大元, 可以取 . 令 . 由引理, 可以取 s.t. . 下证 . 反证法, 若该命题不成立, 必可取出 s.t. . 又 , 故 , 但又有 , 矛盾.

乘法

, 定义

.

再定义 .

容易验证加法与乘法的诸性质成立.

这个问题的本质在于, 我们所说的 和 1 是同一个 Dedekind 分割的不同表达. 不妨构造 和 , 易知 , . 考察 , 不妨设 , 则必有 . 因此, 必可取出 s.t. , 也即 .

如果承认超自然数 , 那么 , 但在实数中, 我们可以说 就是实数 的不同表达.

完备性/连续性

对于 , 我们自然会想能不能通过类似 Dedekind 分割的方式再生成一些新的数字. 很遗憾这是不可能的. 可以证明不存在集合 , 满足以下性质.

1. ;
2. ;
3. 中不存在最大元.

这一完备性命题和其连续性命题间存在等价关系.