工科数学分析

• 曲率 . 曲率半径 .

• 柯西中值定理 适用条件: 闭区间连续开区间可导, .

• 运用牛顿-莱布尼茨公式 时注意 到底是不是 .

• 不会做就泰勒展开.

• 看到分式 的积分先想是不是直接就是 .

• 求完积分代回去一定要看看列的式子里面有没有积分以外的项.

• 驻点: ; 极值点: 增减性( 正负性)发生改变的点; 拐点: 凹凸性( 正负性)发生改变的点.

• 中值定理的题目也可以直接取区间内的最大值 , 有 , 比直接中值定理多了一个 是最大值的条件可以用.

• 是凸.

• 求渐近线: , . 注意垂直渐近线需要单独求, 有垂直渐近线当且仅当某个点处左/右极限为无穷.

• 连续条件: 存在; 存在; 二者值相等.

• 第一类间断点: 左右极限存在, 但左右极限不相等或者左右极限相等但是与该点函数值不相等;

• 微分方程记得看有没有初始条件.

• 三角函数相关题目可以考虑利用 来消除 的三角函数后换元 .

• .

• 记得 .

• 注意如果除一个数要分讨是不是 .

高等代数

Chapter#6 二次型, 矩阵的合同

实对称矩阵

• 实对称矩阵的特征多项式只有实根.

• 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.

正交相似

设 是任一实对称矩阵. 的诸特征根为 , 重数(几何重数必等于代数重数)为 .

• 存在 是正交矩阵, 为对角矩阵.

• 可以取 , 是特征值 对应的特征子空间的一组正交单位基.

合同

合同当且仅当存在可逆矩阵 , . 合同是等价关系.

• 实对称矩阵必然合同于某一 , 且 .

• 称 为 的合同规范形, 二次型 为二次型 的规范形.

• 称作正惯性指数, 称作负惯性指数, 称为符号差.

二次型

设 是任一实对称矩阵.

• 若 合同于对角矩阵 (), 称 为 的合同标准形.

• 此时称二次型 为二次型 的标准形.().

• 若 为正交矩阵, 称令 为正交替换.

正定

为正定矩阵等价于:

• .

• 诸 大于 .

• , 为实可逆矩阵.

• , 的 阶顺序主子式 大于 .